We will show that under the condition “each wrong guess has exactly two digits which are correct but occur in the wrong position” (so no digit is both present and placed correctly), one may prove by “counting hits” and “eliminating impossible cases” that the four‐digit password must be 8712.
Below is one way to arrive at this answer.
【1】把每次输入看作一个四位数的“集合”
小明五次输错了密码，分别是：
G1 = 6087
G2 = 5173
G3 = 1358
G4 = 3825
G5 = 2531
注意：每次输错密码，虽然全数不正确但其中有两位数字是正确的（只是位置不对）。
令实际密码为四位数 P = (P₁, P₂, P₃, P₄)。而“正确的数字”集合记作 S ⊆ {all digits appearing in guesses}，满足 |S| = 4。由题意可知对每个猜测Gᵢ， | Gᵢ ∩ S | = 2. (注意：这里“∈”是集合内部成员关系，与密码中的位置无关。)
把每个猜测看作一个4元素的集合：
G1 = {6,0,8,7}
G2 = {5,1,7,3}
G3 = {1,3,5,8}
G4 = {3,8,2,5}
G5 = {2,5,3,1}
【2】利用“击中次数”思想
设一个数字 d 出现在猜测中的频率为 f(d)。可统计得： f(0)=1, f(6)=1, f(7)=2, f(8)=3, f(1)=3, f(2)=2, f(3)=4, f(5)=4. 因为每次猜测中恰好有两个数字来自 S，共五次猜测，则总计“击中”次数为 5×2 = 10。 而如果 S 的四个数字的频率分别是 f(a),f(b),f(c),f(d)， 则必须满足 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=10.
注意到有两种可能：
A. 选用两个频数为1的数字（0,6）和两个频数为4的数字（3,5），其总和为 1+1+4+4=10；
B. 选用一个频数为2的数字、一个频数为3的数字以及一个频数为?，比如选 {7,2,8,1} 有频数分别为 2, 2, 3, 3，和为 10.
（后续证明过程中可以证明方案 A 导致在“错位”条件下无法排列；而方案 B 则是可行的。）
【3】设 S = {7,2,8,1} 作为正确密码数字集合
验证各个猜测与 S 的交集：
G1 ∩ S = {8,7}
G2 ∩ S = {1,7}
G3 ∩ S = {1,8}
G4 ∩ S = {8,2}
G5 ∩ S = {2,1}
各个猜测都有恰好两位数字在 S 中，满足集合条件。
【4】排列位置以满足“错位”要求
设实际密码为 (P₁,P₂,P₃,P₄)，其中 {P₁,P₂,P₃,P₄} = S = {7,2,8,1}，且对于每个猜测中出现在 S 的数字 gᵢ，都要求其在 P 中不出现与 gᵢ 相同的位置（即“错位”）。
下面写出各个猜测给出的限制：
【对 G1 (6087)】
G1 的数字：6,0,8,7。
交集 S = {8,7}，分别在位置 3 和 4。
要求：
P₃ ≠ 8, P₄ ≠ 7.
【对 G2 (5173)】
G2 的数字：5,1,7,3。
交集 S = {1,7}，出现在位置 2 和 3。
要求：
P₂ ≠ 1, P₃ ≠ 7.
【对 G3 (1358)】
G3 的数字：1,3,5,8。
交集 S = {1,8}，出现在位置 1 和 4。
要求：
P₁ ≠ 1, P₄ ≠ 8.
【对 G4 (3825)】
G4 的数字：3,8,2,5。
交集 S = {8,2}，出现在位置 2 和 3。
要求：
P₂ ≠ 8, P₃ ≠ 2.
【对 G5 (2531)】
G5 的数字：2,5,3,1。
交集 S = {2,1}，出现在位置 1 和 4。
要求：
P₁ ≠ 2, P₄ ≠ 1.
接下来，针对每个位置 Pᵢ 求取可能的数字（注意 P 是 S 的一个排列）：
● 对于 P₁：
由 G3 和 G5 得：P₁ ≠ 1,2。
故 P₁ 可选自 {7,8}.
● 对于 P₂：
由 G2 和 G4 得：P₂ ≠ 1,8。
故 P₂ 只能取 {7,2}中的数字。
● 对于 P₃：
由 G1 和 G2 得：P₃ ≠ 8,7；
故 P₃ 可选自 {2,1}.
● 对于 P₄：
由 G1,G3,G5 得：P₄ ≠ 7,8,1，
只能取剩下的数字 2.
所以必有 P₄ = 2.
然后逐步确定： – P₄ = 2. 因此 S 中已用了2，余下 {7,8,1} 分配给P₁,P₂,P₃。 – 对 P₂：原来可选为 {7,2}，但2已用，所以只能 P₂ = 7. – 对 P₁：最初可能为 {7,8}，7已用，故 P₁ = 8. – 这样剩下的数字给 P₃，则 P₃ = 1.
于是实际密码排列为： P₁=8, P₂=7, P₃=1, P₄=2，即密码 8712.
【5】验证每个猜测
现在核对每次输入与实际密码（8712）比较：
G1: 6087
交集：8 和 7. 实际中8出现在第1位，7出现在第2位；而猜测中8,7分别在第3、4位。都错置。
G2: 5173
交集：1和7. 实际中1在第3位，7在第2位；猜测中1,7出现在第2、第3位。错置。
G3: 1358
交集：1和8. 实际中1在第3位，8在第1位；猜测中1,8出现在第1、第4位。错置。
G4: 3825
交集：8和2. 实际中8在第1位，2在第4位；猜测中8,2分别在第2、第3位。错置。
G5: 2531
交集：2和1. 实际中2在第4位，1在第3位；猜测中2,1分别在第1、第4位。错置。
每次都有两位数字“正确”但均错位，符合题意。
【6】总结解题思路
(1) 将每个猜测看作一个四元素集合，并由于“错位”条件得出每次猜测与实际密码数字集合 S 的交集大小必须为2。
(2) 列出各个猜测的数字集合，再统计各数字在五次中出现的频数。由于五次猜测共“击中”10次，所以若 S = {a,b,c,d} 则必有 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=10。
(3) 经过分析，取合适的数字组合（例如 {7,2,8,1}）满足上述条件。
(4) 再利用“错位”要求写出各个猜测对应的限制条件，排列这四个数字到四个位置，得到唯一解：P = (8,7,1,2)，即密码 8712。
【答案】
小明正确的手机密码为 8712.
希望以上步骤能帮助你理解求解过程！